逻辑回归与梯度下降法全部详细推导 📈🔍

🚀引言

在当今的数据科学领域，逻辑回归和梯度下降法是两个非常重要的概念。它们在机器学习和人工智能中扮演着至关重要的角色。这篇文章将详细介绍逻辑回归的工作原理以及如何使用梯度下降法来优化模型。

📚逻辑回归基础

逻辑回归是一种用于分类问题的统计模型。它通过一个称为sigmoid函数的特殊函数，将线性组合的输入变量映射到(0, 1)区间内，从而预测概率。sigmoid函数的数学表达式为：

\[ \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} \]

📈损失函数

为了评估模型的性能，我们需要定义一个损失函数。对于逻辑回归，通常选择对数似然损失函数（也称为交叉熵损失），其公式如下：

\[ L(y, \hat{y}) = -[y \log(\hat{y}) + (1-y) \log(1-\hat{y})] \]

📉梯度下降法

梯度下降法是一种迭代算法，用于最小化损失函数。它通过沿着负梯度方向更新参数来逐步逼近最优解。具体地，权重的更新规则为：

\[ w := w - \alpha \frac{\partial L}{\partial w} \]

🤖总结

通过以上步骤，我们可以看到逻辑回归和梯度下降法是如何协同工作的。逻辑回归负责构建模型，而梯度下降法则确保模型能够以最有效的方式进行训练。希望这篇文章能帮助你更好地理解这两个关键概念。