在数学领域中，泰勒展开是一种将函数表示为无穷级数的方法，它通过利用函数在某一点的导数值来逼近函数本身。这种展开方法在微积分、物理学以及工程学等领域有着广泛的应用。本文将介绍常用的十个泰勒展开公式，帮助读者更好地理解和应用这一重要工具。
1. 指数函数 \( e^x \)
\[
e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
\]
适用于所有实数 \( x \)。
2. 正弦函数 \( \sin(x) \)
\[
\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots
\]
适用于所有实数 \( x \)。
3. 余弦函数 \( \cos(x) \)
\[
\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots
\]
适用于所有实数 \( x \)。
4. 自然对数 \( \ln(1+x) \)
\[
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots
\]
适用于 \( -1 < x \leq 1 \)。
5. 幂函数 \( (1+x)^k \)
\[
(1+x)^k = \sum_{n=0}^\infty \binom{k}{n} x^n = 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \cdots
\]
适用于 \( |x| < 1 \)，其中 \( \binom{k}{n} \) 表示组合数。
6. 反正切函数 \( \arctan(x) \)
\[
\arctan(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots
\]
适用于 \( |x| \leq 1 \)。
7. 双曲正弦函数 \( \sinh(x) \)
\[
\sinh(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots
\]
适用于所有实数 \( x \)。
8. 双曲余弦函数 \( \cosh(x) \)
\[
\cosh(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots
\]
适用于所有实数 \( x \)。
9. 高斯函数 \( e^{-x^2} \)
\[
e^{-x^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}
\]
适用于所有实数 \( x \)。
10. 对数函数 \( \ln(1-x) \)
\[
\ln(1-x) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots
\]
适用于 \( -1 \leq x < 1 \)。
以上十个泰勒展开公式涵盖了常见的初等函数和特殊函数，是解决实际问题时的重要工具。通过掌握这些公式，可以更高效地进行数学建模和分析。
希望本文能够帮助读者更好地理解泰勒展开的本质及其应用价值。在学习过程中，建议结合具体例子练习，以加深对公式的理解和记忆。
