在数学学习中，二次函数是一个非常重要的知识点，尤其在初中和高中阶段的代数内容中占据核心地位。它不仅与图像的形状密切相关，还广泛应用于实际问题的建模和求解中。为了帮助同学们更好地掌握这一部分知识，下面提供一些关于二次函数的练习题，并附有简要解析，便于理解和巩固。

一、选择题

1. 下列函数中，哪一个是二次函数？

A. $ y = 3x + 2 $

B. $ y = x^2 - 5x + 6 $

C. $ y = \frac{1}{x} $

D. $ y = 2^x $

答案：B

2. 抛物线 $ y = -2x^2 + 4x - 1 $ 的开口方向是（ ）

A. 向上

B. 向下

C. 向左

D. 向右

答案：B

3. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的顶点坐标为（ ）

A. $ \left( \frac{-b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $

B. $ \left( \frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $

C. $ \left( \frac{-b}{2a}, \frac{b^2 - 4ac}{4a} \right) $

D. $ \left( \frac{-b}{2a}, \frac{4ac + b^2}{4a} \right) $

答案：A

二、填空题

1. 若二次函数 $ y = x^2 - 6x + 8 $ 的图象与 x 轴交于两点，则这两点的横坐标分别为 ______ 和 ______。

答案：2 和 4

2. 函数 $ y = 2(x - 3)^2 + 5 $ 的顶点坐标是 ______。

答案：(3, 5)

3. 已知抛物线的顶点为 (1, -3)，且过点 (0, -1)，则其解析式为 ______。

答案：$ y = 2(x - 1)^2 - 3 $

三、解答题

1. 求函数 $ y = -x^2 + 4x - 3 $ 的顶点坐标，并画出其大致图像。

解析：

顶点横坐标为 $ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \times (-1)} = 2 $

代入得 $ y = -(2)^2 + 4 \times 2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 $

所以顶点为 (2, 1)，由于 a < 0，开口向下。

2. 一个矩形的长比宽多 2 米，若其面积为 24 平方米，求该矩形的长和宽。

解析：

设宽为 $ x $ 米，则长为 $ x + 2 $ 米

面积公式：$ x(x + 2) = 24 $

解得：$ x^2 + 2x - 24 = 0 $

解得 $ x = 4 $ 或 $ x = -6 $（舍去负值）

所以宽为 4 米，长为 6 米。

四、拓展题

1. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像经过点 (1, 2)、(-1, 6) 和 (2, 3)，求该函数的解析式。

解析：

将三个点代入方程，得到三元一次方程组：

$$

\begin{cases}

a + b + c = 2 \\

a - b + c = 6 \\

4a + 2b + c = 3

\end{cases}

$$

解得：$ a = -1 $, $ b = -2 $, $ c = 5 $

所以解析式为 $ y = -x^2 - 2x + 5 $

通过以上练习题的训练，可以有效提升对二次函数的理解和应用能力。建议在做题过程中注意理解每个步骤的意义，结合图像进行分析，有助于提高解题效率和准确性。