在物理学中，研究物体的运动状态是理解自然规律的重要途径。当一个质点在二维平面内运动时，我们通常用位置矢量来描述它在任意时刻所处的空间位置。设该质点的位置矢量为 $\vec{r}(t)$，其中 $t$ 表示时间变量，而 $a$ 和 $b$ 是两个与时间无关的常数。

假设该质点的位置矢量表达式为：

$$

\vec{r}(t) = a t \hat{i} + b t^2 \hat{j}

$$

这里，$\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 分别代表 x 轴和 y 轴方向的单位矢量。从这个表达式可以看出，质点在 x 方向上的位移随时间线性增加，而在 y 方向上则随时间的平方增长。

接下来，我们可以进一步分析该质点的运动特性。首先，求速度矢量 $\vec{v}(t)$，即对位置矢量关于时间求导：

$$

\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = a \hat{i} + 2b t \hat{j}

$$

这表明，在 x 方向上，质点以恒定速度 $a$ 运动；而在 y 方向上，其速度随时间线性增加，说明质点在 y 方向上有匀加速运动的特征。

再进一步求加速度矢量 $\vec{a}(t)$：

$$

\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = 0 \hat{i} + 2b \hat{j}

$$

由此可见，质点在 x 方向上的加速度为零，而在 y 方向上的加速度为常数 $2b$，说明质点在平面内的运动是由两种不同性质的分量组合而成：x 方向的匀速直线运动与 y 方向的匀加速直线运动。

结合这两个方向的运动情况，可以推断出质点的轨迹是一条抛物线。这是因为，当一个物体在水平方向做匀速运动，同时在垂直方向做匀加速运动时，其轨迹通常呈现为抛物线形状。

为了更直观地理解这一运动，我们可以尝试将位置矢量表达式中的参数代入，绘制出不同时间点的坐标点，并观察其变化趋势。例如，取 $a=1$、$b=1$，则有：

- 当 $t=0$，$\vec{r}(0) = 0\hat{i} + 0\hat{j}$

- 当 $t=1$，$\vec{r}(1) = 1\hat{i} + 1\hat{j}$

- 当 $t=2$，$\vec{r}(2) = 2\hat{i} + 4\hat{j}$

这些点在平面上形成了一条逐渐上升的曲线，符合抛物线的形态。

综上所述，通过分析质点的位置矢量函数，我们不仅能够确定其速度和加速度的变化规律，还能推测其运动轨迹的几何形状。这种由数学表达式出发，逐步推导物理特性的方法，是理解力学问题的重要手段之一。