【刘维尔逼近定理】刘维尔逼近定理是数论中一个重要的结果，主要用于研究代数数的有理数逼近性质。该定理由法国数学家约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）于1844年提出，是证明某些数为超越数的关键工具之一。通过该定理，刘维尔首次构造出具体的超越数，为后来的数论发展奠定了基础。

一、定理概述

刘维尔逼近定理指出：对于任意一个代数数α（即满足某个整系数多项式方程的数），存在一个正数C（依赖于α），使得对所有有理数p/q（q > 0，且p与q互质），都有：

$$

\left \alpha - \frac{p}{q}right > \frac{C}{q^n}

$$

其中n是α所满足的最小次数的整系数多项式的次数。

换句话说，代数数不能被有理数“太好”地逼近，其逼近误差至少与1/qⁿ成比例。

二、定理的意义

三、举例说明

设α是一个代数数，满足方程：

$$

x^2 - 2 = 0

$$

则α = √2，这是一个代数数，次数为2。根据刘维尔定理，存在某个常数C，使得对于任何有理数p/q，都有：

$$

\left \sqrt{2} - \frac{p}{q} \right > \frac{C}{q^2}

$$

这表明√2不能被有理数无限接近，其逼近误差随分母的平方增长。

四、定理的局限性

虽然刘维尔定理在历史上具有重要意义，但它给出的下界较为宽松。例如，对于某些特定的代数数，实际的逼近误差可能比定理给出的更小。后来的数学家如狄利克雷、库默尔等人对此进行了改进，提出了更紧的界限。

五、总结

刘维尔逼近定理是数论中研究代数数和有理数之间逼近关系的重要工具。它不仅揭示了代数数的结构特性，还为超越数的存在性提供了构造性的证明方法。尽管其结论在现代数论中已被更精细的结果所取代，但其历史意义和理论价值依然不可忽视。