【已知等差数列{an}中已知等差数列{an】在数学学习中，等差数列是一个重要的知识点，尤其在高中阶段的数列部分。等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为公差，通常用字母 $ d $ 表示。等差数列具有规律性强、计算方便等特点，在实际问题中应用广泛。
为了帮助大家更好地理解和掌握等差数列的相关知识，以下是对等差数列的基本概念和性质进行总结，并通过表格形式展示关键公式和应用方法。
一、等差数列的基本概念
| 概念 | 定义 |
| 等差数列 | 从第二项开始，每一项与前一项的差为同一常数的数列 |
| 公差（d） | 数列中相邻两项的差值 |
| 首项（a₁） | 数列的第一个项 |
| 第n项（aₙ） | 数列的第n个项 |
二、等差数列的通项公式
等差数列的第n项可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ a_n $ 是第n项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ d $ 是公差；
- $ n $ 是项数。
三、等差数列的求和公式
等差数列前n项的和 $ S_n $ 可以用以下两种方式计算：
1. 根据首项和末项：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
2. 根据首项和公差：
$$
S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
四、等差数列的性质
| 性质 | 内容 |
| 对称性 | 若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m + a_n = a_p + a_q $ |
| 中间项 | 若数列项数为奇数，则中间项等于所有项的平均值 |
| 公差影响 | 当 $ d > 0 $ 时，数列为递增；当 $ d < 0 $ 时，数列为递减；当 $ d = 0 $ 时，数列为常数列 |
五、典型例题解析
例题1：
已知等差数列 {an} 的首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 2 $，求第10项和前10项的和。
解：
- 第10项：
$$
a_{10} = a_1 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 18 = 21
$$
- 前10项和：
$$
S_{10} = \frac{10}{2}(3 + 21) = 5 \times 24 = 120
$$
答案： 第10项是21，前10项和为120。
六、总结
等差数列是数列中的基础内容，理解其通项公式和求和公式对于解决实际问题非常关键。通过掌握这些基本公式和性质，可以快速判断数列的变化趋势，并用于求解各类数列问题。
| 公式名称 | 公式表达式 | 应用场景 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | 求任意一项的值 |
| 求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 求前n项的和 |
| 性质 | 如对称性、中间项等 | 分析数列结构和变化规律 |
通过以上内容的学习和练习，可以更系统地掌握等差数列的知识点，提高解题效率和准确性。
