【八个基本泰勒公式】在数学分析中，泰勒公式是一个非常重要的工具，用于将函数展开为无限级数的形式。它不仅有助于近似计算，还能帮助我们理解函数的局部行为。以下总结了八个常用的泰勒公式（或称泰勒展开式），适用于常见的初等函数。
一、泰勒公式的定义
泰勒公式是将一个可导函数在某一点附近用多项式逼近的表达式。若函数 $ f(x) $ 在点 $ a $ 处有无穷阶导数，则其泰勒展开式为：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
$$
当 $ a = 0 $ 时，该展开式称为麦克劳林公式。
二、八个基本泰勒公式（以 $ x = 0 $ 为中心）
以下是八个常见函数的泰勒展开式（即麦克劳林展开式）：
| 函数 | 泰勒展开式 | 收敛区间 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} $ | $ -1 < x \leq 1 $ | ||
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $（广义二项式展开） |
| $ \sinh x $ | $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cosh x $ | $ 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
三、说明与应用
这些泰勒公式在微积分、物理、工程等领域中有着广泛的应用。例如：
- 近似计算：可以用有限项的泰勒多项式来近似复杂函数，如 $ e^x $ 或 $ \sin x $。
- 解析延拓：通过泰勒展开可以研究函数在复平面上的行为。
- 数值方法：许多数值算法依赖于泰勒展开进行误差估计和迭代计算。
四、结语
掌握这八个基本泰勒公式，不仅能加深对函数性质的理解，也能为后续学习微分方程、复变函数等课程打下坚实的基础。建议在实际应用中结合具体问题灵活使用，并注意展开式的收敛区间。
