【集合基本运算】集合是数学中的一个基础概念，广泛应用于逻辑、计算机科学和统计学等领域。集合的基本运算主要包括并集、交集、补集和差集等。以下是对这些基本运算的总结与说明。
一、集合基本运算概述
| 运算名称 | 符号表示 | 定义 | 示例 |
| 并集 | A ∪ B | 由所有属于A或B的元素组成的集合 | A={1,2}, B={2,3} → A∪B={1,2,3} |
| 交集 | A ∩ B | 由同时属于A和B的元素组成的集合 | A={1,2}, B={2,3} → A∩B={2} |
| 差集 | A - B | 由属于A但不属于B的元素组成的集合 | A={1,2}, B={2,3} → A-B={1} |
| 补集 | A' 或 ~A | 在全集U中，不属于A的元素组成的集合 | U={1,2,3,4}, A={1,2} → A'={3,4} |
二、运算规则与性质
1. 并集（Union）
- A ∪ B = {x
- 交换律：A ∪ B = B ∪ A
- 结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
2. 交集（Intersection）
- A ∩ B = {x
- 交换律：A ∩ B = B ∩ A
- 结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
3. 差集（Difference）
- A - B = {x
- 不满足交换律：A - B ≠ B - A
4. 补集（Complement）
- A' = {x ∈ U
- 补集的补集是原集合：(A')' = A
- 全集的补集是空集：U' = ∅
三、应用实例
假设全集U = {1,2,3,4,5}，集合A = {1,2,3}，集合B = {3,4,5}，则：
- A ∪ B = {1,2,3,4,5}
- A ∩ B = {3}
- A - B = {1,2}
- B - A = {4,5}
- A' = {4,5}
- B' = {1,2}
四、总结
集合的基本运算是理解集合论和其在实际问题中应用的关键。通过掌握并集、交集、差集和补集的定义与性质，可以更有效地进行逻辑推理、数据分析和算法设计。在实际操作中，建议结合具体例子来加深对这些概念的理解。
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